Triângulo pitagórico impossível? Que truque é esse?

Ibagem 1: do suposto triângulo impossível.

    A imagem acima é simplesmente divertida. Nela, tem-se um triângulo retângulo onde um dos catetos mede 1 unidade e outro mede uma unidade imaginária (O famoso número $i$). Ao longo desse artigo explicarei esse tal $i$. Essa imagem estava circulando por aí a um tempo e nós resgatamos para conversar um pouco sobre medidas e números complexos.

 Primeiramente, você lembra dos conjuntos numéricos?
Tipo $\mathbb{N}$ e $\mathbb{R}$?

Tá, vamos pensar nos conjuntos.

Conjuntos numéricos

$\mathbb{N}= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots \}$. Esse é chamado conjunto dos números naturais e é usado na contagem. Tipo quando você conta carneirinhos para dormir.

Depois temos um com alguns elementos a mais, esse é o $\mathbb{Z}= \{ \dots, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, \dots \}$. O nome desse cara é conjunto dos números inteiros, e é usado quando é preciso pensar números menores que zero, por exemplo em dívidas. (É MEU AMIGO, MATEMÁTICO TAMBÉM PENSA EM CONTA PRA PAGAR). 

Ok, daqui em diante fica um pouquinho mais difícil. O próximo conjunto não pode ser listado desse jeito.
 No caso, temos o conjunto, o conjunto dos números racionais, $\mathbb{Q}= \{ \frac{m}{n}; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$. Talvez você esteja pensando: O que diabos quer dizer isso???
É tranquilo, isso tá dizendo que $\mathbb{Q}$ é o conjunto das frações, tanto positivas quanto negativas e que o zero tá lá também. 

Um adendo, todos os inteiros também "são racionais" e todos os naturais "são inteiros". Aspas por motivos de minha nerdice extrema ( é um pouquinho mais complicado que isso, tem até uma fotinha pra ajudar nisso, que eu vou colocar lá em baixo, na"Ibagem 3").  Continuando...

Ibagem 2

    Agora chegamos num conjunto bonito, conjunto formoso, conjunto bem feito: o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$).
    
   Seria difícil dizer quão incrível ele é em palavras, e mais ainda explicar o jeito de definir esse cara. Então vou tentar dizer pra que ele serve.
Esse conjunto de números foi feito pra ter TODOS os números que medem uma distância (e seus opostos, ou seja, seus negativos). Por exemplo, ao medir o tamanho de uma circunferência de raio 1 achamos um número que não pertence a nenhum dos conjuntos acima. Esse número se chama $\pi$. Números desse tipo (chamados irracionais) são achados o tempo todo por aí. Exemplos deles são o $\sqrt{2}$, o número $\phi$, o número $e$ e por aí vai. Aí colocamos todos esses caras (lembre-se, esses caras medem distância e quantidades de mesma natureza que já já explico) num conjunto muito incrível, esse é o conjunto $\mathbb{R}$. Lembrando que esse conjunto também tem os respectivos negativos, como numero $-\pi$,  o $-\phi$, o $-\sqrt{2}$ e o $-e$.


Vamos tentar resumir assim: Toda e qualquer distância pode ser medida com um número real positivo (ou nulo).

 Não só distâncias, qualquer área, ângulo, intervalo de tempo, e a maioria das grandezas físicas têm seu valor calculado com esse conjunto. Enfim, quase tudo que não é medido com o conjunto $\mathbb{Z}$ é medido com o $\mathbb{R}$.  Mas em outra oportunidade falamos disso. O que importa é: você viu a pegadinha?
     Um dos lados do triângulo mede $i$, mas $i$ não é um número real. $i$ é um número complexo

Primeiramente, você conhece o número $i$?

     Vamos pensar assim, os conjuntos que já conversamos conseguiam medir a p#rra toda. Mas, como matemáticos são incansáveis, acharam problemas em que os reais não conseguiam dar conta. Tadinhos exigiram tanto deles. Pra resolver esses problemas (que dei um exemplo para os nerds bem nerds), criaram (ou será que descobriram? "reflitão"*) um novo conjunto de números. Esse é o conjunto $\mathbb{C}$, dos números complexos.
*Essa referência é de meme antigo pra caramba.

Ibagem 3

Só pra você saber, é como se os reais estivessem dentro dos complexos. E como se os outros estivessem dentro dos reais. Olhe essa imagem super didática que roubei de algum lugar aí:

Esse $I$ é dos irracionais, repare que eles estão dentro dos reais, mas estão fora dos irracionais.

Ok, vamos aos detalhes para os nerds, aí na próxima parte eu resumo. Se você é um leitor bem preguiçoso, pule isso e vá para o próximo:

Para os manjadores das manjações:

Bom, este número ($i$) foi descoberto quase sem querer por matemáticos que estudavam métodos para resolver equações de grau 3. Sendo mais direto, matemáticos da época queriam resolver equações do tipo $x^3+ax+b=0$. Nessa brincadeira, eles frequentemente se deparavam com coisas do tipo $x=\sqrt{-20}$, por exemplo. 

Legal, relembrando o que é uma raíz: $b=\sqrt{x}$ se $b^2=x$ e $b\geq0$. O motivo de $b$ ter de ser maior ou igual a zero a gente discute em outra oportunidade. 

Tá, se você não lembra de porque isso é problemático, saiba que não existe um número real que elevado a 2 dê num número negativo. Por exemplo, pense num número $p$ positivo. Agora faça $p^2$. Bom, multiplicar dois positivos dá um resultado positivo. Agora vamos pensar num número negativo. Por falta de criatividade, pense no número negativo $-p$. Agora por "regra de sinais" (detesto falar isso) $(-p)^2=(-p)(-p)=p^2>0$. Então um número negativo o quadrado também é maior que zero D:

Tá, no caso do zero é claro que ele ao quadrado dá zero né. (fala que sim, por favor!).

Tudo bem, a questão é: Quando você finge que a raíz de um número negativo é um número, com propriedades dos números reais, então tudo dá muito certo e fica possível resolver as equações de grau 3, e 4 que os matemáticos tanto queriam resolver (não me perguntem porquê).   

Aí tiveram tretas de saber se eles eram números mesmo ou não. Aí a treta foi meio que resolvida quando pensaram nos complexos de um jeito geométrico. 
Se tu é nerdão mesmo, manjador dos paranauês, deve saber que os números reais podem ser vistos como pontos de uma reta. por isso tem cara que fala de reta real e também por isso que usam os reais para medir distâncias. Legal, mas e os complexos? 
Eles podem ser imaginados como pontos do plano. Legal né? Tem outros detalhes de ver os complexos assim, mas eles são tão incríveis que eu escreveria uma bíblia. Então se contente com essa pregação irmãos. Amém e vamos voltar ao tema:

 

 Voltando ao crime

 O resumo é: o número $i$ é um cara elevado ao quadrado é igual a $-1$. Em uma equação fica bonitinho dessa forma: $i^2=-1$. Assim , quando você aplica pitágoras chega que a hipotenusa é igual a zero. Vamos aplicar, só pra deixar registrado. Vamos chamar a hipotenusa de $x$ e usar pitágoras pra descobrir que ela valeria $0$.
$$x^2=1^2+i^2=1+(-1)=0$$

E é por isso que a hipotenusa dessa umagem tem medida igual a 0.

Mas lembre-se: Os complexos não servem para medir coisas, eles são usados para outras coisas.

Daí acho queu podemos pular pro resumão:  o grande problema dessa figura é que não se mede distâncias com números que não são reais positivos. Se você tentar, dará maluquices como essa.

 Extra para os supernerds de exatas

Os complexos não podem ser usados parar medir quantidades. Isso acontece porque se você tentar medir coisas, vai usar (mesmo sem perceber)  algo do tipo $a\leq b$ (Isso é a forma matemática de ordenar coisas.). Lógico, medir é comparar e comparar é tentar saber qual é maior ou qual é menor. Qualquer garoto preocupado se tem dinheiro o bastante ou se seu brinquedo é pequeno sabe disso.  O problema é que ao ordenar números complexos (quando você for "brincar" com essa ordem) você vai chegar em uns resultados muito estranhos. Então não se ordena complexos. Mesmo assim, eles são úteis para resolver muitos problemas, sendo inclusive usados na mecânica quântica. Esse conjunto é tão completo (desse ponto de vista) que nem é preciso ficar criando outros conjuntos pra resolver novos problemas. Como aconteceu no caso dos $\mathbb{R}$. As desvantáveis desse conjunto eu posso falar em outro momento. Mas precisando ou não, como eu disse antes, os matemáticos são incansáveis. Então um cara chamado Hamilton criou um conjunto muito daora chamado conjunto dos quatérnios, cujo símbolo é, geralmente, um $\mathbb{H}$ por causa dele. Mais que merecido, afinal, o cara ficou uns 20 anos estudando isso.  Esses números são usados para calcular rotações no espaço. Por isso eles são úteis ao calcular a rota de aviões. 

Mas existem conjuntos ainda maiores e loucos? 
sim!
Mais dois. E alguns ainda discutem se são números mesmo, pois são meio loucos mesmo. Eles são os octônios e os sedênios. 

E depois? 
É, parece que para por aí. O maior e mais louco é o dos sedênios. O motivo é legal. E ele é.... 

usa o Google. Explicar isso não é fácil não. Mas se não achar, comenta aqui.